Матрицы Мерсенна и Адамара, произведения


https://doi.org/10.15217/issn1684-8853.2016.5.2

Полный текст:


Аннотация

Цель исследования: показать возможность обобщения кронекерова произведения с последующей коррекцией элементов на малоуровневые квазиортогональные матрицы локального максимума детерминанта для получения матриц того же качества (малоуровневых) высокой размерности, в частности матриц Адамара и Мерсенна. Результаты: показано, что сложность формул коррекции произведения Кронекера малоуровневых квазиортогональных матриц (критских матриц) зависит от типа симметрии сомножителей, порядка их следования и близости размеров сомножителей между собой. Описаны типы возможных сомножителей: виды их симметрии, зависимость симметрии от размера матрицы и ее положения в цепочке критских матриц возрастающих порядков. Приведены таблицы симметрированных матриц. Обобщено произведение Скарпи матрицы Адамара на ее ядро или округленную матрицу Мерсенна; показано, что перестановка симметрированных сомножителей позволяет умножать матрицы Адамара как простых, так и составных порядков. Техника кронекерова произведения расширена на сомножители, разница порядков которых (дистанция) не превышает 4. Показано, что произведение матриц Мерсенна порядков 4t + 1 и Зейделя порядков 4t - 1 порождает регулярные матрицы Адамара с равными друг другу суммами столбцов. Разнесение порядков сомножителей ведет к блочным структурам, в которых отличные от 1 и -1 элементы встречаются только на диагонали. Практическая значимость: алгоритмы нахождения критских матриц использованы при построении исследовательского программного комплекса. Субоптимальные по детерминанту матрицы составляют основу фильтров Мерсенна и Ферма, применяемых для сжатия и маскирования изображений.

Об авторах

Николай Алексеевич Балонин
Санкт-Петербургский государственный университет аэрокосмического приборостроения
Россия


Михаил Борисович Сергеев
Санкт-Петербургский государственный университет аэрокосмического приборостроения
Россия


Список литературы

1. Балонин Н. А., Сергеев М. Б. Матрицы локального максимума детерминанта // Информационноуправляющие системы. 2014. № 1(68). С. 2-15.

2. Balonin N. A., Seberry Jennifer. Remarks on Extremal and Maximum Determinant Matrices with Real Entries ≤ 1 // Информационно-управляющие системы. 2014. № 5(71). С. 2-4.

3. Hadamard J. Résolution d’une Question Relative aux Déterminants// Bulletin des Sciences Mathématiques. 1893. Vol. 17. P. 240-246.

4. Scarpis U. Sui Determinanti di Valore Massimo // Rendiconti Della R. Istituto Lombardo di Scienze e Lettere. 1898. Vol. 31. P. 1441-1446.

5. Paley R. E. A. C. On Orthogonal Matrices // Journal of Mathematics and Physics. 1933. Vol. 12. P. 311320.

6. Belevitch V. Theorem of 2n-terminal Networks with Application to Conference Telephony // Electr. Commun. 1950. Vol. 26. P. 231-244.

7. Балонин Н. А., Сергеев М. Б., Востриков А. А. О двух предикторах вычисляемых цепочек квазиортогональных матриц // Автоматика и вычислительная техника. 2015. № 3. С. 42-48. doi:10.3103/ S0146411615030025

8. Balonin N. A., Seberry Jennifer. A Review and New Symmetric Conference Matrices // Информационно-управляющие системы. 2014. № 4(71). P. 2-7.

9. Balonin N. A., Sergeev M. B. Regular Hadamard Matrix of Order 196 and Similar Matrices // Информа-ционно-управляющие системы. 2015. № 1(73). P. 2-3. doi:10.15217/issn1684-8853.2015.1.2

10. Balonin N. A., Seberry Jennifer, Sergeev M. B. Three Level Cretan Matrices of Order 37//Информационно-управляющие системы. 2015. № 2(74). P. 2-3. doi:10.15217/issn1684-8853.2015.2.2

11. Awyzio Gene and Seberry Jennifer. On Good Matrices and Skew Hadamard Matrices. http://www.uow. edu.au/~jennie/WEB/WEB15/2015_11_Good_matrices.pdf (дата обращения: 15 ноября 2014).

12. Baumert Leonard, Golomb S. W. and Hall Marshall. Discovery of an Hadamard Matrix of Order 92 // Bull. Amer. Math. Soc. California Institute of Technology. 1962. Vol. 68. P. 237-238.

13. Seberry Wallis Jennifer. A skew-Hadamard Matrix of Order 92 // Bulletin of the Australian Mathematical Society. 1971. Vol. 5. P. 203-204.

14. Seberry Jennifer and Yamada Mieko. Hadamard Matrices, Sequences, and Block Designs // Contempo rary Design Theory. A Collection of Surveys. J. H. Dinitz and D. R. Stinson eds. - John Wiley and Sons, 1992. P. 431-560.

15. Djokovic D. Z. Ten New Orders for Hadamard Matrices of Skew Type // Univ. Beograd Pull. Electrotehn. Fak. Ser. Math. 1992. N 3. P. 47-59.

16. Balonin N. A., Djokovic D. Z. Negaperiodic Golay Pairs and Hadamard Matrices // Информационно-управляющие системы. 2015. № 5(78). С. 2-17. doi:10.15217/issn1684-8853.2015.5.2

17. Balonin N. A., Djokovic D. Z. Symmetry of Two Circulant Hadamard Matrices and Periodic Golay Pairs // Информационно-управляющие системы. 2015. № 3(76). С. 2-16. doi:10.15217/issn1684-8853.2015.3.16

18. Djokovic D. Z. Williamson Matrices of Order 4n for n = 33;35;39 // Discrete Math. 1993. Vol. 115. P. 267271.

19. Holzmann W. H., Kharaghani H., Tayfeh-Rezaie B. Williamson Matrices up to Order 59 // Designs, Codes and Cryptography. 2008. Vol. 46. Iss. 3. P. 343-352.

20. Balonin N. A., Seberry Jennifer. The Propus Construction for Symmetric Hadamard Matrices. 2015. http://arxiv.org/abs/1512.01732 (дата обращения: 5 сентября 2015).

21. Balonin N. A., Seberry Jennifer. Two-level Cretan Matrices Constructed Using SBIBD // Special Matrices. 2015. Vol. 3.1. P. 186-192.

22. Di Matteo O., Djokovic D. Z., Kotsireas I. S. Symmetric Hadamard Matrices of Order 116 and 172 Exist // Special Matrices. 2015. Vol. 3.1. P. 227-234.

23. Балонин Н. А., Сергеев М. Б. О расширении ортогонального базиса в задачах сжатия видеоизображений // Вестник компьютерных и информационных технологий (ВКИТ). 2014. № 2. С. 11-15. doi: 10.14489/vkit.2014.02.pp.011-015

24. Балонин Н. А., Сергеев М. Б. М-матрицы и кристаллические структуры // Вестник Магнитогорского государственного технического университета им. Г. И. Носова. 2013. № 3. С. 58-62.

25. Балонин Н. А., Сергеев М. Б. Матрица золотого сечения G10 // Информационно-управляющие системы. 2013. № 6. С. 2-5.


Дополнительные файлы

Для цитирования: Балонин Н.А., Сергеев М.Б. Матрицы Мерсенна и Адамара, произведения. Информационно-управляющие системы. 2016;(5):2-14. https://doi.org/10.15217/issn1684-8853.2016.5.2

For citation: Balonin N.A., Sergeev M.B. Mersenne and Hadamard Matrices, Products. Information and Control Systems. 2016;(5):2-14. (In Russ.) https://doi.org/10.15217/issn1684-8853.2016.5.2

Просмотров: 22


Creative Commons License
Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.


ISSN 1684-8853 (Print)
ISSN 2541-8610 (Online)