Конструкция симметричных матриц Адамара

Николай Алексеевич Балонин; Юрий Николаевич Балонин; Драгомир Гражданин Джокович; Дмитрий Анатольевич Карбовский; Михаил Борисович Сергеев

doi:10.15217/issn1684-8853.2017.5.2

Конструкция симметричных матриц Адамара

Николай Алексеевич Балонин, Юрий Николаевич Балонин, Драгомир Гражданин Джокович, Дмитрий Анатольевич Карбовский, Михаил Борисович Сергеев

https://doi.org/10.15217/issn1684-8853.2017.5.2

Полный текст:

Аннотация

Цель: исследовать более полно, чем это было известно ранее, семейства симметричных матриц Адамара конструкции пропусов - симметричной разновидности массива Гетхальса - Зейделя, отличающейся обязательной симметрией одного из блоков и равенством двух других, всего четырех блоков. Методы: аналитическая теория уравнений для параметров дифференциальных семейств, используемых в теории симметричных матриц Адамара, базирующаяся на теоремах Лиувилля и Диксона. Авторский численный метод поиска двух или трех циклических блоков для построения матриц Адамара бициклического типа, или пропусов, который ускоряет классический перебор искомых последовательностей предварительной сортировкой их на непересекающиеся сомножества потенциальных решений с помощью хэш-функции. Результаты: получено и классифицировано в таблицы обширное множество новых симметричных матриц Адамара, отличающихся между собой индивидуальными наборами параметров. Помимо новизны указанных множеств, достигнута новизна симметричных конструкций на порядках 92, 116, 156, для которых такие решения были неизвестны. Для порядка 156 симметричные матрицы найдены впервые. Практическая значимость: матрицы Адамара имеют непосредственное практическое значение для решения задач помехоустойчивого кодирования, сжатия и маски-рования видеоинформации. Программное обеспечение нахождения симметричных матриц Адамара и библиотека найденных ма-триц используются в математической сети Интернет с исполняемыми онлайн алгоритмами.

Ключ. слова

Symmetric Hadamard Matrices, Goethals - Seidel Array, Propus Construction, Cyclic Difference Families, симметричные матрицы Адамара, массив Гетхальса - Зейделя, пропус-конструкция, циклические дифференциальные семейства,

Об авторах

Николай Алексеевич Балонин

Санкт-Петербургский государственный университет аэрокосмического приборостроения
Россия

Юрий Николаевич Балонин

Санкт-Петербургский государственный университет аэрокосмического приборостроения
Россия

Драгомир Гражданин Джокович

Канады
Россия

Дмитрий Анатольевич Карбовский

Санкт-Петербургский государственный университет аэрокосмического приборостроения
Россия

Михаил Борисович Сергеев

Санкт-Петербургский государственный университет аэрокосмического приборостроения
Россия

Список литературы

1. Hadamard J. Resolution d’une Question Relative aux Determinants. Bulletin des Sciences Mathematiques, 1893, vol. 17, pp. 240-246 (In French).

2. Williamson J. Hadamard’s Determinant Theorem and the Sum of Four Squares. Duke Math. J., 1944, no. 11, pp. 65-81.

3. Dokovic D. Z. Good Matrices of Orders 33, 35 and 127. JCMCC, 1993, no. 14, pp. 145-152.

4. Holzmann W. H., Kharaghani H., and Tayfeh-Rezaie B. Williamson Matrices up to Order 59. Designs, Codes and Cryptography, 2008, vol. 46, iss. 3, pp. 343-352.

5. Goethals J. M., and Seidel J. J. A Skew-Hadamard Matrix of Order 36. J. Austral. Math. Soc., 1970, vol. 11, pp. 343-344.

6. Seberry J., and Balonin N. A. The Propus Construction for Symmetric Hadamard Matrices. 2015. Available at: http://arXiv:1512.01732v1 (accessed 22 May 2017).

7. Di Mateo O. , Dokovic D. Z., Kotsireas I. S. Symmetric Hadamard Matrices of Order 116 and 172 exist. Spec. Matrices, 2015, no. 3, pp. 227-234.

8. Balonin N. A., Dokovic D. Z. Symmetry of Two-Circulant Hadamard Matrices and Periodic Golay Pairs. Informatsionno-upravliaiushchie sistemy [Information and Control Systems], 2015, no. 3, pp. 2-16 (In Russian). doi:10.15217/issn1684-8853.2015.3.2

9. Balonin N. A., Dokovic D. Z. Negaperiodic Golay Pairs and Hadamard Matrices. Informatsionno-up-ravliaiushchie sistemy [Information and Control Systems], 2015, no. 5, pp. 2-17. doi:10.15217/issn1684-8853.2015.5.2

10. Craigen R., Kharaghani H. Hadamard Matrices and Hadamard Designs. In: Handbook of Combinatorial Designs. 2nd ed. C. J. Colbourn, J. H. Dinitz (eds). Ser. Discrete Mathematics and its Applications. Chapman & Hall/CRC, Boca Raton, FL, 2006, pp. 273-280.

11. Liouville J. Nouveaux Theoremes Concernant les Nombres Triangulaires. Journal de Mathematiques Pures et Appliquees, 1863, no. 8, pp. 73-84 (In French).

12. Dixon L. E. Integers Represented by Positive Ternary Quadratic Forms. Bull. Amer. Math. Soc., 1927, vol. 33, no. 1, pp. 63-70.

13. Xia M., Xia T., Seberry J., and Wu J. An Infinite Series of Goethals - Seidel Arrays. Discrete Applied Mathematics, 2005, no. 145, pp. 498-504.

Дополнительные файлы

Для цитирования: Балонин Н.А., Балонин Ю.Н., Джокович Д.Г., Карбовский Д.А., Сергеев М.Б. Конструкция симметричных матриц Адамара. Информационно-управляющие системы. 2017;90(5):2-11. https://doi.org/10.15217/issn1684-8853.2017.5.2

For citation: Balonin N.A., Balonin Y.N., Dokovic D.Z., Karbovskiy D.A., Sergeev M.B. Construction of Symmetric Hadamard Matrices. Information and Control Systems. 2017;90(5):2-11. (In Russ.) https://doi.org/10.15217/issn1684-8853.2017.5.2

Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.

ISSN 1684-8853 (Print)
ISSN 2541-8610 (Online)

Логин
Пароль