Симметрия двуциклических матриц Адамара и периодические пары Голея


https://doi.org/10.15217/issn1684-8853.2015.3.2

Полный текст:


Аннотация

Цель: изучить конструкцию двуциклических матриц Адамара, систематически исследовать роль симметрии и кососимметрии циклических блоков этой конструкции, классифицировать периодические пары Голея, вплоть до длины 40, тесно связанные с двуциклическими матрицами Адамара. Методы: вычислительные методы линейной алгебры, рекуррентные методы поиска оптимума, методы нахождения периодических пар Голея фиксированных размеров с использованием высокопроизводительных компьютеров. Результат: рассмотрена проблема построения матриц Адамара двуциклического типа введением специальных мер симметрии (индекса симметрии, дефектов симметрии и кососимметрии), исследованы классы эквивалентности периодических пар Голея небольшой длины. Аналог гипотезы Райзера о несуществовании циклических матриц Адамара порядка большего, чем четыре, был предложен ранее первым автором. Его содержание состоит в утверждении того, что не существует симметричных двуциклических матриц Адамара порядка выше 32. Последняя гипотеза проверена в нескольких случаях с использованием компьютера. Каталог представителей классов эквивалентности двуциклических матриц Адамара представлен в форме списка периодических пар Голея длин вплоть до размера 26 (включительно). Приведены примеры почти симметричных двуциклических матриц Адамара относительно больших порядков. Практическая значимость: матрицы Адамара имеют непосредственное практическое значение для задач помехоустойчивого кодирования, сжатия и маскирования видеоинформации. Программное обеспечение нахождения двуциклических матриц Адамара и библиотека периодических пар Голея вместе с исполняемыми on line алгоритмами доступны в математической сети Интернет http://mathscinet.ru.

Об авторах

Николай Алексеевич Балонин
Санкт-Петербургский государственный университет аэрокосмического приборостроения
Россия


Драгомир Джокович
Университет Ватерлоо
Россия


Список литературы

1. Hadamard J. Résolution d’une Question Relative aux Déterminants//Bulletin des Sciences Mathematiques. 1893. Vol. 17. P. 240-246.

2. Silvester J. J. Thoughts on Inverse Orthogonal Matrices, Simultaneous Sign Successions, and Tessellated Pavements in Two or More Colours, with Applications to Newton’s Rule, Ornamental Tile-Work, and the Theory of Numbers//Philosophical Magazine. 1867. Vol. 34. P. 461-475.

3. Scarpis U. Sui Determinanti di Valore Massimo // Rendiconti della R. Istituto Lombardo di Scienze e Lettere. 1898. Vol. 31. P. 1441-1446.

4. Paley R. E. A. C. On Orthogonal Matrices//J. of Mathematics and Physics. 1933. Vol. 12. P. 311-320.

5. Балонин Н. А., Сергеев М. Б. Матрицы локального максимума детерминанта // Информационно-управляющие системы. 2014. № 1(68). С. 2-15.

6. Балонин Н. А., Сергеев М. Б. К вопросу существования матриц Мерсенна и Адамара // Информационно -управляющие системы. 2013. № 5(66). С. 2-8.

7. Ryser H. J. Combinatorial Mathematics // The Carus Mathematical Monographs. Published by The Mathematical Association of America. - New York: John Wiley and Sons, 1963. N 14. - 162 p.

8. Lint van J. H., Wilson R. M. A Course in Combinatorics. - Cambridge Univ. Press, 1992. Ch. 18. - 602 p.

9. Williamson J. Hadamard’s Determinant Theorem and the Sum of Four Squares // Duke Math. J. 1944. Vol. 11. N 1. P. 65-81. doi:10.1215/S0012-7094-44-01108-7

10. Seberry J., Yamada M. Hadamard Matrices, Sequences, and Block Designs // Contemporary Design Theory: A Collection of Surveys/ J. H. Dinitz and D. R. Stinson eds. - John Wiley and Sons, 1992. - P. 431-560.

11. Balonin N. A. Two Circulant Hadamard Matrices, Mathematical Euler-net “Mathscinet.ru”, 2014. http://mathscinet.ru/catalogue/twocirculanthad-amard/index.php (дата обращения: 08.03.2015).

12. Holzmann W. H., Kharaghani H., Tayfeh-Rezaie B. Williamson Matrices Up to Order 59 // Designs, Codes and Cryptography. 2008. Vol. 46. Iss. 3. P. 343-352.

13. Djokovic D. Z. Williamson Matrices of Order 4n for n = 33; 35; 39 // Discrete Mathematics. 1993. N 115. P. 267-271.

14. Djokovic D. Z. Note on Periodic Complementary Sets of Binary Sequences // Designs, Codes and Cryptography. 1998. N 13. P. 251-256.

15. Golay M. J. E. Complementary Series // IRE Trans. Inform. Theory. 1961. Vol. IT-7. P. 82-87.

16. Djokovic D. Z., Kotsireas I. S. Periodic Golay Pairs of Length 72. arXiv:1409.5969v2 [math.CO] 27 Jan. 2015.

17. Djokovic D. Z., Kotsireas I. S. Some New Periodic Golay Pairs // Numerical Algorithms (to appear). doi 10.1007/ s11075-014-9910-4. arXiv:1310.5773v2 [math.CO] 27 Aug. 2014.

18. Eliahou S., Kervaire M., Saffari B. A New Restriction on the Lengths of Golay Complementary Sequences // Jornal of Combinatorial Theory. Ser. A. 1990. Vol. 55. N 1. P. 49-59.

19. Arasu K. T., Xiang Q. On the Existence of Periodic Complementary Binary Sequences // Designs, Codes and Cryptography. 1992. N 2. P. 257-262.

20. Di Matteo O., Djokovic D. Z., Kotsireas I. S. Symmetric Hadamard Matrices of Order 116 and 172 Exist. 2015. arXiv:1503.04226.

21. Djokovic D. Z. Equivalence Classes and Representatives of Golay Sequences / /Discrete Mathematics. 1998. N 189. P. 79-93.

22. Djokovic D. Z., Kotsireas I. S. Compression of Periodic Complementary Sequences and Applications // Designs, Codes and Cryptography. 2015. N 74. P. 365-377.

23. Craigen R. and Kharaghani H. Orthogonal Designs, in Handbook of Combinatorial Designs. 2nd ed. / C. J. Colbourn, J. H. Dinitz (eds). Discrete Mathematics and its Applications (Boca Raton). Chapman & Hall/CRC, Boca Raton, FL, 2007. P. 280-295.


Дополнительные файлы

Для цитирования: Балонин Н.А., Джокович Д. Симметрия двуциклических матриц Адамара и периодические пары Голея. Информационно-управляющие системы. 2015;(3):2-16. https://doi.org/10.15217/issn1684-8853.2015.3.2

For citation: Balonin N.A., Djokovic D.Z. Symmetry of Two-Circulant Hadamard Matrices and Periodic Golay Pairs. Information and Control Systems. 2015;(3):2-16. (In Russ.) https://doi.org/10.15217/issn1684-8853.2015.3.2

Просмотров: 30


Creative Commons License
Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.


ISSN 1684-8853 (Print)
ISSN 2541-8610 (Online)