Доступ открыт Открытый доступ  Доступ закрыт Только для подписчиков

Как гипотезе Адамара помочь стать теоремой. Часть 1


https://doi.org/10.31799/1684-8853-2018-6-2-13

Полный текст:


Аннотация

Введение: гипотеза Адамара о существовании специфических квадратных матриц сформулирована не Адамаром, а математиками начала прошлого века. В середине века проблема подверглась ревизии в работах Райзера с Бруком и Човлом, а также одним из основателей дискретной математики Холлом. Она относится к задачам пограничного смешанного типа, в ней присутствует и континуальная, и дискретная составляющие. Комбинаторный подход, используемый в рамках последней, за столетие исчерпал себя, в статье рассмотрена альтернатива, опирающаяся на обе образующие. Цель: рассмотреть причины, по которым гипотеза о существовании всех матриц Адамара на порядках n = 4t считается недоказанной, и предложить возможные варианты ее доказательства. Методы: переход понижением порядка n = 4t – 2 к двухуровневым квазиортогональным матрицам с элементами 1 и -b, вопрос существования которых на всех указанных порядках не вызывает затруднений в силу возможной иррациональности их элементов, с последующим построением цепочки преобразований к матрицам порядков n = 4t - 1, n = 4t, n = 4t + 1. Результаты: доказано взаимно-однозначное соответствие точек Гаусса на сфероиде x2 + 2y2 + z2 = n с симметричными матрицами Адамара (построенными на основе массивов Балонина — Себерри), закрывающее известные в теории массивов Вильямсона пробелы неразрешимых порядков 140, 112 и т.п. Найдены и систематизированы таблицы решений, включающие так называемые «лучшие» трехблочные матрицы L(p, q), p ≥ q — количество несопряженных симметричных матриц рассматриваемого порядка, q — количество блочно-симметричных матриц, совпадающих с решениями Вильямсона. Предложен итерационный метод Прокруста, понижающий норму максимального элемента матрицы, для получения матриц Адамара поиском локального и глобального условных экстремумов детерминанта. Практическая значимость: полученные матрицы Адамара и квазиортогональные матрицы порядков n = 4t - 2, n = 4t - 1,n = 4t + 1 имеют непосредственное практическое значение для задач помехоустойчивого кодирования, сжатия и маскирования видеоинформации.


Об авторах

Н. А. Балонин
Санкт-Петербургский государственный университет аэрокосмического приборостроения
Россия

Балонин Николай Алексеевич - профессор кафедры вычислительных систем и сетей Санкт-Петербургского государственного университета аэрокосмического приборостроения. В 1982 году окончил Ленинградский электротехнический институт им. В. И. Ульянова (Ленина) по специальности «Автоматика и телемеханика». В 2008 году защитил диссертацию на соискание ученой степени доктора технических наук. Является автором более 100 научных публикаций, в том числе трех монографий.

Область научных интересов — теория динамических систем, теория идентификации, теория операторов, теория матриц, вычислительные методы, интернет-робототехника, интернет-книги с исполняемыми алгоритмами, научные социальные сети.

Б.  Морская ул., 67, Санкт-Петербург, 190000.



М. Б. Сергеев
Санкт-Петербургский государственный университет аэрокосмического приборостроения
Россия

Сергеев Михаил  Борисович - профессор, директор Института вычислительных систем и программирования, заведующий кафедрой вычислительных систем и сетей Санкт-Петербургского государственного университета аэрокосмического приборостроения, почетный работник высшего профессионального образования РФ. В 1980 году окончил ЛЭТИ по специальности «Электронные вычислительные машины». В 2001 году защитил диссерта-цию на соискание ученой степени доктора технических наук. Является автором более 100 научных публикаций и 14 патентов на изобретения. 

Область научных интересов — теория разрядных вычислений, методы проектирования спецпроцессоров для систем контроля и управления и др.

Б.  Морская ул., 67, Санкт-Петербург, 190000.



Список литературы

1. Hadamard J. Résolution d’une Question Relative aux Déterminants. Bulletin des Sciences Mathématiques, 1893, vol. 17, pp. 240–246.

2. Seberry J., Yamada M. Hadamard matrices, sequences, and block designs. J. H. Dinitz and D. R. Stinson eds. John Wiley and Sons, Inc., 1992. P. 431–560.

3. Handbook of combinatorial designs(Discrete mathematics and its applications). Ed. by Charles J. Colbourn, Jeffrey H. Dinitz. 2nd ed. Chapman and Hall/ CRC, 2006. 1000 p.

4. Балонин Н. А., Сергеев М. Б. Нормы обобщенных матриц Адамара. Вестник СПбГУ. Сер. 10, 2014, вып. 2, с. 5–11.

5. Balonin N. A., and Seberry, Jennifer. Remarks on extremal and maximum determinant matrices with real entries d1. Информационно-управляющие системы, 2014, № 5, с. 2–4.

6. Балонин Н. А., Сергеев М. Б. Матрица золотого сечения G10. Информационно-управляющие системы, 2013, № 6, с. 2–5.

7. Williamson J.Hadamard’s determinant theorem and the sum of four squares. Duke Math. J., 1944, vol. 11, pp. 65–81.

8. Baumert L., Golomb S. W., Hall M. Discovery of an Hadamard matrix of order 92. JR. Communicated by F. Bohnenblust, California Institute of Technology, Bull. Amer. Math. Soc., 1962, vol. 68, pp. 237–238.

9. Seberry Wallis J. A class of Hadamard matrices. Communicated by Marshall Hall. Journal of Combinatorial Theory, 1969, vol. 6, pp. 40–44.

10. Bruck R. H., Ryser H. J. The nonexistence of certain finite projective planes. Canadian J. Math., 1949, vol. 1, pp. 88–93. doi:10.4153/cjm-1949-009-2

11. Chowla S., Ryser H. J. Combinatorial problems. Canadian J. Math., 1950, vol. 2, pp. 93–99. doi:10.4153/cjm-1950-009-8

12. Hall M. Combinatorial theory. 2nd ed. New York, Wiley, 1998. 464 p.

13. Ryser H. J. Combinatorial mathematics. The carus mathematical monographs. The mathematical association of America, New York, JohnWiley and Sons, 1963, no. 14. 162 p.

14. Балонин Н. А., Джокович Д. Ж. Симметрия двуциклических матриц Адамара и периодические пары Голея. Информационно-управляющие системы, 2015, № 3, c. 2–16. doi:10.15217/issn1684-8853.2015.3.2

15. Балонин Н. А., Сергеев М. Б. Расширение гипотезы Райзера на двуциклические структуры и разрешимость матриц Адамара орнаментом в виде бицикла с двойной каймой. Информационно-управляющие системы, 2017, № 1, c. 2–10. doi:10.15217/issnl684-8853.2017.1.2

16. Balonin N. A., Seberry J. Two infinite families of symmetric Hadamard matrices. Australian Journal of Combinatorics, 2017, vol. 69(3), pp. 349–357.

17. Balonin N. A., Balonin Y. N., Ðoković D. Ž., Karbovskiy D. A., Sergeev M. B. Construction of symmetric Hadamard matrices. Информационно-управляющие системы, 2017, № 5, c. 2–11. doi:10.15217/issn1684-8853.2017.5.2 (16 Aug 2017: arXiv:1708.05098).

18. Balonin N. A., Ðoković D. Ž., Karbovskiy D. A. Construction of symmetric Hadamard matrices of order 4vfor v=47, 73, 113. Special Matrices, 2018, vol. 6, pp. 11–22 (9 Oct 2017: arXiv:1710.03037).

19. Balonin N. A., Ðoković D. Ž. Symmetric Hadamard matrices of orders 268, 412, 436 and 604. Информационно-управляющие системы, 2018, № 4, c. 2–8. doi:10.31799/1684-8853-2018-4-2-8 (23 Mar 2018: arXiv:1803.08787)

20. Balonin N. A., Djocovic D. Z. Negaperiodic Golay pairs and Hadamard matrices. Информационно-управляющие системы, 2015, № 5, c. 2–17. doi:10.15217/issn1684-8853.2015.5.2

21. Балонин Н. А., Сергеев М. Б. Взвешенная конференц-матрица, обобщающая матрицу Белевича на 22-м порядке. Информационно-управляющие системы, 2013, № 5, c. 97–98.

22. Balonin N. A., Seberry J. A review and new symmetric conference matrices. Информационно-управляющие системы, 2014, № 4, c. 2–7.

23. Silvester J. J. Thoughts on inverse orthogonal matrices, simultaneous sign successions, and tessellated pavements in two or more colours, with applications to Newton’s rule, ornamental tile-work, and the theory of numbers. Philosophical Magazine, 1867, no. 34, pp. 461–475.

24. Scarpis U. Sui determinanti di valore Massimo. Rendiconti della R. Istituto Lombardo di Scienze e Lettere, 1898, no. 31, pp. 1441–1446.

25. Ðoković D. Ž. Generalization of Scarpis’ theorem on Hadamard matrices. Linear and Multilinear Algebra, 2017, vol. 65, no. 10, pp. 1985–1987. doi:10.1080/03081087.2016.1265062

26. Балонин Н. А., Сергеев М. Б. Матрицы Мерсенна и Адамара. Информационно-управляющие системы, 2016, № 1, c. 2–15. doi:10.15217/issn1684-8853.2016.1.2

27. Балонин Н. А., Сергеев М. Б. Матрицы Мерсенна и Адамара, произведения. Информационно-управляющие системы, 2016, № 5, c. 2–14. doi:10.15217/issn1684-8853.2016.5.2

28. Gilman R. E. On the Hadamard determinant theorem and orthogonal determinants. Bulletin Amer. Math. Soc., 1931, vol. 37, pp. 30–31.

29. Paley R. E. A. C. On orthogonal matrices. Journal of Mathematics and Physics, 1933, vol. 12, pp. 311–320.

30. Malcolm W. Browne. Is a math proof a proof if no one can check it? The New York Times. 1 december. 1988.

31. Janko Z. The existence of a Bush-type Hadamard matrix of order 36 and two new infinite classes of symmetric designs. Journal of Combinatorial Theory, 2001, ser. A, vol. 95, no. 2, pp. 360–364.

32. Janko Z., Kharaghani H., Tonchev V. D. Bush-type Hadamard matrices and symmetric symmetric designs. J. Combin., 2001, no. 1, pp. 72–78.

33. Janko Z., Kharaghani H., Tonchev V. D. The existence of a Bush-type Hadamard matrix of order 324 and two new infinite classes of symmetric designs. Des. Codes Cryptogr, 2001, vol. 24, no. 2, pp. 225–232.

34. Ðoković D. Ž. Williamson matrices of order 4nfor n=33;35;39. Discrete Math., 1993, vol. 115, pp. 267–271.

35. Holzmann W. H., Kharaghani H., Tayfeh-Rezaie B. Williamson matrices up to order 59. Designs, Codes and Cryptography, 2008, no. 46, pp. 343–352.

36. Балонин Н. А. О существовании матриц Мерсенна 11-го и 19-го порядков. Информационно-управляющие системы, 2013, № 2, c. 89–90.

37. Балонин Н. А., Сергеев М. Б. К вопросу существования матриц Мерсенна и Адамара. Информационно-управляющие системы, 2013, № 5, c. 2–8.

38. Балонин Н. А., Сергеев М. Б. Матрицы локального максимума детерминанта. Информационно-управляющие системы, 2014, № 1, c. 2–15.


Дополнительные файлы

1. Bush matrices for orders 36, 100, 324
Тема
Тип Research Instrument
Скачать (355KB)    
Метаданные
2. Two {15, 7, 3}-ornaments of Mersenne matrix
Тема
Тип Research Instrument
Скачать (9KB)    
Метаданные
3. Transition from a bicycle of Euler to monoblocks of Mersenne and Hadamard
Тема
Тип Research Instrument
Скачать (8KB)    
Метаданные

Для цитирования: Балонин Н.А., Сергеев М.Б. Как гипотезе Адамара помочь стать теоремой. Часть 1. Информационно-управляющие системы. 2018;(6):2-13. https://doi.org/10.31799/1684-8853-2018-6-2-13

For citation: Balonin N.A., Sergeev M.B. Helping Hadamard conjecture to become a theorem. Part 1. Information and Control Systems. 2018;(6):2-13. (In Russ.) https://doi.org/10.31799/1684-8853-2018-6-2-13

Просмотров: 113


Creative Commons License
Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.


ISSN 1684-8853 (Print)
ISSN 2541-8610 (Online)