Доступ открыт Открытый доступ  Доступ закрыт Только для подписчиков

Поиск периодических решений обыкновенных дифференциальных уравнений с помощью метода нормальной формы. Случай уравнений четвертого порядка


https://doi.org/10.31799/1684-8853-2018-6-24-34

Полный текст:


Аннотация

Постановка проблемы: в основе метода резонансной нормальной формы лежит сведение системы нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений к более простому виду, исследовать который проще. Более того, для ряда автономных нелинейных задач удается получить в явном виде формулы, аппроксимирующие численные расчеты семейств их периодических решений. Замена численных вычислений их заранее просчитанными формулами ведет к существенной экономии вычислительного времени. Подобные расчеты делались и ранее, однако их точность была недостаточной, а трудоемкость была весьма велика. Цель: применение метода резонансной нормальной формы и разработанного для этих целей программного пакета к системам четвертого порядка для повышения скорости вычислений. Результаты: показано, что при помощи единого алгоритма возможно изучать уравнения высоких порядков (четвертого и более). Сравнение табуляции полученных формул с численными решениями соответствующих уравнений показывает хорошее количественное согласие. К тому же скорость вычислений по заранее подготовленным аппроксимирующим формулам на порядки превосходит скорость численных расчетов. Полученные аппроксимирующие приближения успешно применимы и к неустойчивым решениям. Так, в системе Хенона — Хейлеса периодические решения окружены хаотическими решениями, и при численном интегрировании алгоритмы зачастую на них неустойчивы. Практическая значимость: разработанный подход может быть использован при моделировании физических и биологических систем.


Об авторах

В. Ф. Еднерал
НИИ ядерной физики им. Д. В. Скобельцына Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова; Российский университет дружбы народов
Россия

Еднерал Виктор Федорович - старший научный сотрудник НИИ ядерной физики им. Д. В. Скобельцына Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова, доцент Российского университета дружбы народов, ветеран труда. В 1976 году окончил Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова по специальности «Физик». В 1981 году защитил диссертацию на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. Является автором более 100 научных публикаций и пяти свидетельств о регистрации прав на программное обеспечение.

Область научных интересов — компьютерная алгебра, динамические системы, построение нормальных форм.

Ленинские горы, 1(2), Москва, 119991; Миклухо-Маклая ул., 6, Москва, 117198.



О. Д. Тимофеевская
Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова
Россия

Тимофеевская Ольга Дмитриевна - доцент кафедры квантовой теории и физики высоких энергий физического факультета Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова. В 1974 году окончила физический факультет МГУ по специальности «Физик». В 1978 году защитила диссертацию на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. Является автором более 90 научных публикаций, в том числе двух книг.

Область научных интересов — компьютерная алгебра, квантовая теория, квантовые вычисления и квантовая информация.

Ленинские горы, 1(2), Москва, 119991.



Список литературы

1. Еднерал В. Ф., Тимофеевская О. Д. Поиск периодических решений обыкновенных дифференциальных уравнений с помощью метода нормальной формы. Ч. I. Вестник РУДН. Серия: Математика. Информатика. Физика, 2014, № 3, с. 28–45.

2. Anosov D. V., Bronshtejn I. U., Aranson Samuel Kh., Ar nol d V. I ., Gr i ne s V. Z. Dynamical systems I (Encyclopaedia of Mathematical Sciences). N. Y., Springer-Verlag, 1988. 237 p.

3. Guckenheimer J., Holmes P. Nonlinear oscillations, dynamical systems, and bifurcations of vector fields. Applied Mathematical Sciences, N. Y., Springer-Verlag, 1983. 420 p.

4. Deprit A. Canonical transformation depending on a small parameter. Celestial Mechanics, 1969, vol. 1, no. 1, pp. 12–30. https://doi.org/10.1007/BF01230629

5. Hori G. I. Theory of general perturbations with unspecified canonical variables. J. Japan Astron. Soc., 1966, vol. 18, no. 4, p. 287. Available at: http://adsabs.harvard.edu/abs/1966PASJ...18..287H (accessed 8 August 2018).

6. Bruno A. D. Analytical form of differential equations. I. Trans. Mosc. Mat. Soc., 1971, vol. 25, pp. 119–262. Available at: http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=mmo&paperid=256&option_lang=eng (accessed 8 August 2018).

7. Bruno A. D. Analytical form of differential equations. II. Trans. Mosc. Mat. Soc., 1972, vol. 26, pp. 199–239. Available at: http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=mmo&paperid=256&option_lang=eng (accessed 8 August 2018).

8. Bruno A. D. The restricted 3-body problem: plane periodic orbits. Series: De Gruyter Expositions in Mathematics. Berlin, New York, 1994. 362 p. Available at: https://www.degruyter.com/view/product/137385 (accessed 8 August 2018).

9. Bruno A. D. Normal forms. J. Mathematics and Computers in Simulation, Elsevier, 1998, vol. 45, pp. 413– 427. Available at: https://ideas.repec.org/a/eee/matcom/v45y1998i5p413-427.html (accessed 8 August 2018).

10. Bruno A. D. The power geometry in algebraic and differential equations. Amsterdam, Elsevier Science (North-Holland), 2000. 395 p.

11. Bibikov Yu. N. Local theory of nonlinear analytic ordinary differential equations. Series: Lect. Notes Math. Berlin, New York, Springer-Verlag, 1979, vol. 702. 146 p.

12. Mersman W. A. A new algorithm for Lie transformation. Celestial Mechanics, 1970, vol. 3, no. 1, pp. 81– 89. Available at: https://link.springer.com/article/10.1007/BF01230434 (accessed 8 August 2018).

13. Shevchenko I. I., Sokolsky A. G. Algorithms for normalization of Hamiltonian systems by means of computer algebra. Comp. Phys. Comm., 1993, vol. 77, no. 1, pp. 11–18. https://doi.org/10.1016/0010-4655(93)90032-8

14. Godziewski K., Maciejewski A. J. Normalization algorithms of Hamiltonian near an equilibrium point. Astrophysics and Space Science, 1991, vol. 179, no. 1, pp. 1–11. doi:10.1007/BF00642349

15. Ito H. Convergence of Birkhoff normal forms for integrable systems. Comment. Math. Helv., 1989, vol. 64, no. 3, pp. 412–461.

16. Ito H. Integrability of Hamiltonian systems and Birkhoff normal forms in the simple resonance case. Math. Ann., 1992, vol. 292, no. 1, pp. 411–444. https://doi.org/10.1007/BF01444629

17. Bruno A. D. Local method in nonlinear differential equations. Springer Series in Soviet Mathematics. Berlin etc., Springer-Verlag, 1989. 348 p.

18. Walcher S. On differential equations in normal form. Math. Ann., 1991, vol. 291, pp. 293–314. https://doi.org/10.1007/BF01445209

19. Walcher S. On transformations into normal form. J. Math. Analysis and Appl., 1993, vol. 180, pp. 617– 632. https://doi.org/10.1006/jmaa.1993.1420

20. Vallier L. An algorithm for the computation of normal forms and invariant manifolds. Proceedings of the 1993 International Symposium on Symbolic and Algebraic Computation, Kiev, Ukraine, July 1993, N. Y., ACM Press, ed. by M. Bronstein, 1993, pp. 225– 233.

21. Bruno A. D., Edneral V. F. On integrability of the Euler — Poisson equations. Journal of Mathematical Sciences, 2008, vol. 152, no. 4, pp. 479–489. https://doi.org/10.1007/s10958-008-9085-4

22. Bruno A. D., Edneral V. F. Algorithmic analysis of local integrability. Doklady Mathematics, 2009, vol. 79, no. 1, pp. 48–52. doi:10.1134/S1064562409010141

23. Bruno A., Edneral V. On possibility of additional solutions of the degenerate system near double degeneration at the special value of the parameter. Proceedings of 15th International Workshop “Computer Algebra in Scientific Computing”, Lecture Notes in Computer Science, 2013, vol. 8136, pp. 75–87. http://dx.doi.org/10.1007/978-3-319-02297-0

24. Edneral V. F. Application of power geometry and normal form methods to the study of nonlinear odes. EPJ Web of Conferences, 2018, vol. 173, pp. 01004. https://doi.org/10.1051/epjconf/201817301004

25. Edneral V. F. Computer evaluation of cyclicity in planar cubic system. Proceedings of the ISSAC’97, Hawaii, USA, July 1997, ed. by W. Küchlin, N. Y., ACM, 1997, pp. 305–309. doi>10.1145/258726. 258823

26. Edneral V. F., Khanin R. Investigation of the double pendulum system by the normal form method in MATHEMATICA. Programming and Computer Software, 2004, vol. 30, no. 2, pp. 115–117. https://doi.org/10.1023/B:PACS.0000021271.80969.ef

27. Edneral V. F. Computer generation of normalizing transformation for systems of nonlinear ODE. Proceedings of the 1993 International Symposium on Symbolic and Algebraic Computation, Kiev, Ukraine, July 1993, N. Y., ACM Press, ed. by M. Bronstein, 1993, pp. 14–19.

28. Edneral V. F. About normal form method. Proceedings of the Second Workshop on Computer Algebra in Scientific Computing (CASC’99), Munich, Germany, 1999, ed. by Ganzha et al., Springer, 1999, pp. 51–66.

29. Edneral V. F. An algorithm for construction of normal forms. Computer Algebra in Scientific Computing, Lecture Notes in Computer Science, Springer Berlin Heidelberg, 2007, vol. 4770, pp. 134–142.

30. Henon M., Heiles C. The applicability of the third integral of motion: some numerical experiments. Astronomical J., 1964, vol. 69, pp. 73–79. doi:10.1086/ 109234

31. Edneral V. F. A symbolic approximation of periodic solutions of the Henon — Heiles system by the normal form method. J. Mathematics and Computers in Simulation, Elsevier, North-Holland, 1998, vol. 45, no. 5-6, pp. 445–463.

32. Edneral V. F. Complex periodic solutions of autonomous ODE systems with analytical right sides near an equilibrium point. Fundamentalnaya i prikladnaya matematika, 1995, vol. 1, no. 2, pp. 393–398.

33. Edneral V. F. Bifurcation analysis of low resonant case of the generalized Henon — Heiles system. Proceedengs of the Fourth Workshop on Computer Algeb- ra in Scientific Computing (CASC 2001), Konstanz, Germany, 2001, ed. by Ganzha et al., Springer-Ver- lag, Berlin Heidelbedg New York, 2001, pp. 167– 176.

34. Edneral V. F. Periodic solutions of a cubic ODE system. Proceedengs of the Fifth Workshop on Computer Algebra in Scientific Computing (CASC 2003), Passau, Germany, September 20–26, 2003, ed. by Ganzha et al., Tech. Univ. München, Munich, 2003, pp. 77–80.


Дополнительные файлы

Для цитирования: Еднерал В.Ф., Тимофеевская О.Д. Поиск периодических решений обыкновенных дифференциальных уравнений с помощью метода нормальной формы. Случай уравнений четвертого порядка. Информационно-управляющие системы. 2018;(6):24-34. https://doi.org/10.31799/1684-8853-2018-6-24-34

For citation: Edneral V.F., Timofeevskaya O.D. Normal form method in search for periodic solutions of ordinary differential equations. Case of the fourth order. Information and Control Systems. 2018;(6):24-34. (In Russ.) https://doi.org/10.31799/1684-8853-2018-6-24-34

Просмотров: 83


Creative Commons License
Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.


ISSN 1684-8853 (Print)
ISSN 2541-8610 (Online)