Матрицы Мерсенна и Адамара


https://doi.org/10.15217/issn1684-8853.2016.1.2

Полный текст:


Аннотация

Цель: показать соответствие чисел Мерсенна, Ферма и прочих числовых последовательностей малоуровневым матрицам локального максимума детерминанта, гарантирующее как существование матриц, так и взаимное соответствие матричных портретов видам чисел: простых, пар простых чисел, степеней простых чисел. Методы: поиск матриц глобального и локального максимумов детерминанта ведется итерационной вычислительной процедурой, ориентированной на минимизацию максимального абсолютного значения элементов ортогональной матрицы. Результаты: разработана теория взаимного соответствия чисел и экстремальных матриц, упрощающая поиск неизвестных матриц обращением к классификации матриц по типам чисел. Предложено расширительное толкование гипотезы Адамара адекватными ей гипотезами о существовании семейств малоуровневых квазиортогональных матриц. Приведено доказательство существования матриц Мерсенна и, следствием, доказательство существования матриц Адамара. На основе арифметики конечных полей Галуа построены алгоритмы вычисления матриц Мерсенна, согласованные по результатам с оптимизационными процедурами повышения детерминанта и дополняемые ими. Практическая значимость: малоуровневые матрицы локального максимума детерминанта ортогональны и имеют непосредственное практическое значение для задач помехоустойчивого кодирования, сжатия и маскирования видеоинформации.

Об авторах

Николай Алексеевич Балонин
Санкт-Петербургский государственный университет аэрокосмического приборостроения
Россия


Михаил Борисович Сергеев
Санкт-Петербургский государственный университет аэрокосмического приборостроения; Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики
Россия


Список литературы

1. Hadamard J. Résolution d’une Question Relative aux Déterminants// Bulletin des Sciences Mathématiques. 1893. Vol. 17. P. 240-246.

2. Балонин Н. А., Сергеев М. Б. Матрицы локального максимума детерминанта // Информационно-управляющие системы. 2014. № 1(68). С. 2-15.

3. Балонин Н. А., Сергеев М. Б., Мироновский Л. А. Вычисление матриц Адамара - Ферма // Информационно-управляющие системы. 2012. № 6(61). С. 90-93.

4. Балонин Н. А., Сергеев М. Б. Матрица золотого сечения G10 // Информационно-управляющие системы. 2013. № 6(67). С. 2-5.

5. Balonin N. A., Vostrikov A. A., Sergeev M. B. Two-Circulant Golden Ratio Matrices // Информационно-управляющие системы. 2014. № 5(72). С. 5-11.

6. Балонин Н. А., Сергеев М. Б., Мироновский Л. А. Вычисление матриц Адамара-Мерсенна // Информационно-управляющие системы. 2012. № 5(60). С. 92-94.

7. Балонин Ю. Н. Программный комплекс MMatrix-2 и найденные им М-матрицы // Вестник компьютерных и информационных технологий. 2013. № 10(112). С. 58-64.

8. Балонин Н. А. О существовании матриц Мерсенна 11-го и 19-го порядков // Информационно-управляющие системы. 2013. № 2(63). С. 89-90.

9. Сергеев А. М. Обобщенные матрицы Мерсенна и гипотеза Балонина // Автоматика и вычислительная техника. 2014. № 4. С. 35-43.

10. Bellman R. Introduction to Matrix Analysis. - Philadelphia: SIAM, 1997. - 395 p.

11. Воеводин В. В., Кузнецов Ю. А. Матрицы и вычисления. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1984. - 320 с.

12. Handbook of Combinatorial Designs. Second Edition (Discrete Mathematics and its Applications). 2nd Ed. / Charles J. Colbourn, Jeffrey H. Dinitz Ed. - Chapman and Hall, 2006. - 1000 p.

13. Balonin N. A., Seberry J. A Review and New Symmetric Conference Matrices // Информационно-управляющие системы. 2014. № 4(71). С. 2-7.

14. Balonin N. A., Djokovic D. Z. Negaperiodic Golay Pairs and Hadamard Matrices // Информационно-управляющие системы. 2015. № 5(78). С. 2-17. doi:10.15217/issn1684-8853.2015.5.2

15. Балонин Н. А., Джокович Д. Ж. Симметрия двуциклических матриц Адамара и периодические пары Голея // Информационно-управляющие системы. 2015. № 3(76). С. 2-16. doi:10.15217/ issn1684-8853.2015.3.16

16. Балонин Н. А., Сергеев М. Б. О значении матриц начального приближения в алгоритме поиска обобщенных взвешенных матриц глобального и локального максимума детерминанта // Информационно -управляющие системы. 2015. № 6(79). С. 2-9. doi:10.15217/issn1684-8853.2015.6.2

17. Балонин Н. А., Сергеев М. Б. К вопросу существования матриц Мерсенна и Адамара // Информационно -управляющие системы. 2013. № 5(66). С. 2-8.

18. Scarpis U. Sui Determinanti di Valore Massimo// Rendiconti della R. Istituto Lombardo di Scienze e Lettere. 1898. Vol. 31. P. 1441-1446.

19. Балонин Н. А., Балонин Ю. Н., Сергеев М. Б. Вычисление матриц Мерсенна и Адамара методом Скарпи // Вестник информационных технологий, механики и оптики. 2014. № 3. С. 104112.

20. Balonin N. A., Seberry J. Remarks on Extremal and Maximum Determinant Matrices with Real Entries ≤ 1 // Информационно-управляющие системы. 2014. № 5(71). С. 2-4.

21. Seberry J., Balonin N. A. Equivalence of the Existence of Hadamard Matrices and Cretan(4t-1,2)-Mer-senne Matrices. http://arxiv.org/abs/1501.07012v1. (дата обращения: 20.12.2015).


Дополнительные файлы

Для цитирования: Балонин Н.А., Сергеев М.Б. Матрицы Мерсенна и Адамара. Информационно-управляющие системы. 2016;(1):2-15. https://doi.org/10.15217/issn1684-8853.2016.1.2

For citation: Balonin N.A., Sergeev M.B. Mersenne and Hadamard Matrices. Information and Control Systems. 2016;(1):2-15. (In Russ.) https://doi.org/10.15217/issn1684-8853.2016.1.2

Просмотров: 53


Creative Commons License
Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.


ISSN 1684-8853 (Print)
ISSN 2541-8610 (Online)